Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ tidak terdefinisi.

$x = - 7, x = 2$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 7$ dari kiri dan $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 7$ dari kanan, maka $x = - 7$ adalah asimtot tegak.

$x = - 7$

Langkah 3

Karena $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kiri dan $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kanan, maka $x = 2$ adalah asimtot tegak.

$x = 2$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 7, 2$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $x^{2} + 5 x - 14$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 14$ dan jumlahnya $5$ .

$- 2, 7$

Langkah 8.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

Langkah 8.2

Perluas $(x - 2) (x + 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.4

Susun kembali $x$ dan $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $- 2$ dengan $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

Langkah 8.2.10

Kurangi $2 x$ dengan $7 x$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Langkah 8.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 5 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Langkah 8.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Langkah 8.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Langkah 8.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

Langkah 8.13

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Langkah 8.14

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $39 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Langkah 8.15

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Langkah 8.16

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $39 x^{2} + 195 x - 546$

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Langkah 8.17

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

Langkah 8.18

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

Langkah 8.19

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 7, 2$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x^{2} - 5 x + 39$

Langkah 10